设二次函数的一般式为(y = ax^{2}+bx + c)（(a
eq0)）。
# 平移变换
1. 上下平移：
若将二次函数(y = ax^{2}+bx + c)向上平移(k)（(k>0)）个单位，纵坐标发生变化，横坐标不变，此时函数变为(y = ax^{2}+bx + c + k)。
证明：对于原二次函数(y = ax^{2}+bx + c)图像上任意一点((x,y))，向上平移(k)个单位后，该点坐标变为((x,y + k))，把(y + k)用原函数(y = ax^{2}+bx + c)代换，就得到(y + k = ax^{2}+bx + c + k)，即平移后的函数表达式为(y = ax^{2}+bx + c + k)。
同理，若向下平移(k)（(k>0)）个单位，则函数变为(y = ax^{2}+bx + c - k)，证明过程类似，原图像上点((x,y))向下平移后变为((x,y - k))，可得(y - k = ax^{2}+bx + c)，进而得出(y = ax^{2}+bx + c - k)。
2. 左右平移：
若将二次函数(y = ax^{2}+bx + c)向左平移(h)（(h>0)）个单位，此时横坐标发生变化，纵坐标不变，函数变为(y = a(x + h)^{2}+b(x + h)+c)。
证明：设原二次函数(y = ax^{2}+bx + c)图像上任意一点((x,y))，向左平移(h)个单位后，该点坐标变为((x - h,y))，把(x)用(x - h)代换原函数中的(x)，即(y = a(x - h + h)^{2}+b(x - h + h)+c = a(x + h)^{2}+b(x + h)+c)。
同理，若向右平移(h)（(h>0)）个单位，则函数变为(y = a(x - h)^{2}+b(x - h)+c)，原图像上点((x,y))向右平移后变为((x + h,y))，把(x)用(x + h)代换原函数中的(x)可得此表达式。
# 轴对称变换
1. 关于(x)轴对称：
若二次函数(y = ax^{2}+bx + c)关于(x)轴对称，那么对应的函数变为(y = - (ax^{2}+bx + c))，即(y = -ax^{2}-bx - c)。
证明：设点((x,y))在原二次函数(y = ax^{2}+bx + c)的图像上，关于(x)轴对称的点坐标为((x,-y))，因为这个对称点在变换后的函数图像上，所以把((x,-y))代入，可得(-y = ax^{2}+bx + c)，两边同时乘以(-1)就得到(y = -ax^{2}-bx - c)，即变换后的函数表达式。
2. 关于(y)轴对称：
若二次函数(y = ax^{2}+bx + c)关于(y)轴对称，函数变为(y = a(-x)^{2}+b(-x)+c)，即(y = ax^{2}-bx + c)。
证明：设点((x,y))在原函数图像上，关于(y)轴对称的点坐标为((-x,y))，因为这个对称点在变换后的函数图像上，将((-x,y))代入可得(y = a(-x)^{2}+b(-x)+c)，也就是变换后的函数表达式。
# 中心对称变换
若二次函数(y = ax^{2}+bx + c)关于原点对称，设点((x,y))在原函数图像上，关于原点对称的点坐标为((-x,-y))，把((-x,-y))代入原函数可得(-y = a(-x)^{2}+b(-x)+c)，即(-y = ax^{2}-bx + c)，两边同时乘以(-1)，得到(y = -ax^{2}+bx - c)，所以二次函数(y = ax^{2}+bx + c)关于原点对称后的函数表达式为(y = -ax^{2}+bx - c)。
