设命题公式A、B、C。
1. 证明 (A ∧ B) → C ⇔ A → (B → C)
- 先从左向右证明 (A ∧ B) → C ⇒ A → (B → C)：
- 假设 (A ∧ B) → C 为真，要证 A → (B → C) 为真。
- 若 A 为假，A → (B → C) 为真。
- 若 A 为真，再假设 B 为假，同样B → C 为真，进而 A → (B → C) 为真。
- 若 A 为真且 B 为真，此时 A ∧ B 为真，因为 (A ∧ B) → C 为真，所以 C 为真，那么 B → C 为真，从而 A → (B → C) 为真。
- 再从右向左证明 A → (B → C) ⇒ (A ∧ B) → C：
- 假设 A → (B → C) 为真，要证 (A ∧ B) → C 为真。
- 若 A ∧ B 为假，(A ∧ B) → C 为真。
- 若 A ∧ B 为真，则 A 为真且 B 为真，因为 A → (B → C) 为真，A 为真所以 B → C 为真，又 B 为真，所以 C 为真，进而 (A ∧ B) → C 为真。
2. 证明 (A ∨ B) → C ⇔ (A → C) ∧ (B → C)
- 先从左向右证明 (A ∨ B) → C ⇒ (A → C) ∧ (B → C)：
- 假设 (A ∨ B) → C 为真，要证 (A → C) ∧ (B → C) 为真。
- 先证 A → C 为真：若 A 为假，A → C 为真；若 A 为真，此时 A ∨ B 为真，因为 (A ∨ B) → C 为真，所以 C 为真，进而 A → C 为真。
- 再证 B → C 为真：若 B 为假，B → C 为真；若 B 为真，此时 A ∨ B 为真，因为 (A ∨ B) → C 为真，所以 C 为真，进而 B → C 为真。所以 (A → C) ∧ (B → C) 为真。
- 再从右向左证明 (A → C) ∧ (B → C) ⇒ (A ∨ B) → C：
- 假设 (A → C) ∧ (B → C) 为真，即 A → C 为真且 B → C 为真，要证 (A ∨ B) → C 为真。
- 若 A ∨ B 为假，(A ∨ B) → C 为真。
- 若 A ∨ B 为真，分情况讨论：若 A 为真，因为 A → C 为真，所以 C 为真；若 B 为真，因为 B → C 为真，所以 C 为真。所以 (A ∨ B) → C 为真。
通过上述证明过程分别完成了离散数学中输出律的两个等价关系的证明。
