# 基本步骤
1. 设定极限：假设函数$f(x)$在$x$趋于$0$时的极限为$A$。
2. 选择$epsilon$：任意给定一个正数$epsilon$。
3. 找到$delta$：需要找到一个正数$delta$，使得当$0 < x - 0 < delta$时，$ f(x) - A < epsilon$成立。
4. 证明：通过代数操作和不等式放缩，找到合适的$delta$。
# 例子：证明$lim_{x
o 0} x = 0$
1. 设定：我们要证明当$x$趋于$0$时，$f(x) = x$的极限为$0$。
2. 选择$epsilon$：任意给定一个正数$epsilon$。
3. 找到$delta$：选择$delta = epsilon$。
4. 证明：当$0
# 更复杂的例子：证明$lim_{x
o 0} x sin(frac{1}{x}) = 0$
1. 设定：我们要证明当$x$趋于$0$时，$f(x) = x sin(frac{1}{x})$的极限为$0$。
2. 选择$epsilon$：任意给定一个正数$epsilon$。
3. 找到$delta$：选择$delta = epsilon$。
4. 证明：当$0
通过这些例子，我们可以看到，用定义证明极限涉及选择适当的$epsilon$和$delta$，并通过代数操作和不等式放缩来证明当$x$足够接近某个值时，$f(x)$与极限值的距离可以任意小。
