1. 基尔霍夫电流定律（KCL）向量证明
- 对于一个节点，设流入节点的电流为(I_1, I_2,cdots, I_n)，流出节点的电流为(I_{n + 1},I_{n+2},cdots, I_m)。
- 电流是单位时间内通过导体横截面的电荷量。在节点处，电荷不会积累，即流入节点的电荷量等于流出节点的电荷量。
- 用向量表示电流，设(vec{I}_1,vec{I}_2,cdots,vec{I}_n)为流入节点的电流向量，(vec{I}_{n + 1},vec{I}_{n+2},cdots,vec{I}_m)为流出节点的电流向量。
- 因为流入节点的总电荷量的变化率等于流出节点的总电荷量的变化率，所以(sum_{k = 1}^{n}vec{I}_k=sum_{k = n+1}^{m}vec{I}_k)，移项可得(sum_{k = 1}^{n}vec{I}_k-sum_{k = n+1}^{m}vec{I}_k = 0)，即(sum_{k = 1}^{m}vec{I}_k = 0)。这就证明了基尔霍夫电流定律的向量形式。
2. 基尔霍夫电压定律（KVL）向量证明
- 考虑一个闭合回路，设回路中的元件有电阻(R_1,R_2,cdots,R_n)，电源电动势为(E_1,E_2,cdots,E_m)，回路中的电流为(I)。
- 电阻两端的电压(U_R = IR)，电源电动势(E)的方向是从负极指向正极。
- 用向量表示电压，设(vec{U}_{R1},vec{U}_{R2},cdots,vec{U}_{Rn})为电阻两端的电压向量，(vec{E}_{1},vec{E}_{2},cdots,vec{E}_{m})为电源电动势向量。
- 沿闭合回路一周，电位的升高等于电位的降低。从能量守恒的角度看，单位电荷沿闭合回路移动一周，电场力做的功为零。
- 对于电阻元件，电压降方向与电流方向相同，对于电源，电动势方向与电源内部电流方向（从负极到正极）相同。所以(sum_{k = 1}^{n}vec{U}_{Rk}-sum_{k = 1}^{m}vec{E}_{k}=0)，这就证明了基尔霍夫电压定律的向量形式。
